Question

6．向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=2$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）$•\overrightarrow{a}$=0，則$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角的余弦值為（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)條件可以得到$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）⊥\overrightarrow{a}$，然后作圖：作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，并且連接AB，從而得到AB⊥OA，然后取AB的中點(diǎn)C，并連接OC，根據(jù)條件即可得到$OC=\sqrt{3}OA$，不妨設(shè)OA=1，從而得出OB的值，進(jìn)而求出cos$∠AOB\$的值，即得出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$夾角的余弦值．

解答 解：∵$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow{a}=0$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）⊥\overrightarrow{a}$；
如圖所示，作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，連接AB，則AB⊥OA；

取AB中點(diǎn)C，連接OC，
∵$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=2\sqrt{3}|\overrightarrow{a}|$，∴$OC=\sqrt{3}OA$；
設(shè)OA=1，則OC=$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{2}$；
∴$AB=2\sqrt{2}，OB=3$；
∴$cos∠AOB=\frac{OA}{OB}=\frac{1}{3}$；
即$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角的余弦值為$\frac{1}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 考查向量垂直的充要條件，向量的幾何意義，向量減法的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，以及三角函數(shù)的定義．