Question

11．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，DE⊥AC，交AC的延長線于點E，DF⊥AB于點F，且AE=8，AB=10．
在上述條件下，給出下列四個結論：
①DE=BD；②△BDF≌△CDE；③CE=2；④DE²=AF•BF，則所有正確結論的序號是（　�。�

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 利用角平分線的性質和全等三角形的判定可以判斷①②的正誤；利用排除法可以判斷③④的正誤．

解答 解：∵∠BAC的平分線為AD，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF，DC=DB，
∴△BDF≌△CDE，所以①不正確，②正確；
∵∠BAC的平分線為AD，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴AE=AF=8．
又∵△BDF≌△CDE，
∴CE=BF=AB-AF=10-8=2，故③正確；
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°．
又∵DF⊥AB，
∴△DBF∽△ADF，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{BF}{DF}$，即DF²=AF•BF，
∴DE²=AF•BF，故④正確；
故選：B．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質．解題時，利用了角平分線的性質和圓周角定理，難度不大．