Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為DD₁的中點．
（Ⅰ）證明：AC⊥BD₁；
（Ⅱ）證明：BD₁∥平面ACE．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（I）證明AC⊥BD，且AC⊥DD₁，即可證明AC⊥平面BDD₁，從而證明AC⊥BD₁；
（ II）如圖所示，證明OE∥BD₁，即可證明BD₁∥平面ACE．

解答： 解：（I）證明：在正方體ABCD中，連結BD，
∴AC⊥BD，
又∵DD₁⊥平面ABCD，且AC?平面ABCD，
∴AC⊥DD₁，
又BD∩DD₁=D，
∴AC⊥平面BDD₁；
又∵BD₁?平面BDD₁，
∴AC⊥BD₁；如圖所示；
（ II）證明：設BD∩AC=O，連結OE，
在△BDD₁中，O、E分別為BD、DD₁的中點，
∴OE∥BD₁；
又∵OE?平面ACE，且BD₁?平面ACE，
∴BD₁∥平面ACE．

點評：本題考查了空間中的垂直與平行關系的證明問題，解題時應結合圖形，弄清空間中的平行與垂直的條件與結論是什么，是中檔題目．