Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（3x+φ）（A＞0，x∈（-∞，+∞），0＜φ＜π），在x=

π

12

時(shí)取得最大值4．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）求f（x）的解析式．
（3）若f（

2

3

α+

π

12

）=

12

5

，求cos2α的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由f （x）的解析式，利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期為

2π

ω

，求得f （x）的最小正周期．
（2）由f （x）有最大值求得A，由最高點(diǎn)的坐標(biāo)求得φ的值，可得f （x）的解析式．
（3）化簡(jiǎn)f（

2

3

α+

π

12

）的解析式為4cos2α，再由f（

2

3

α+

π

12

）=

12

5

，求得cos2α的值．

解答： 解：（1）∵f （x）=Asin（3x+φ），∴T=

2π

3

，即f （x）的最小正周期為

2π

3

．
（2）∵當(dāng)x=

π

12

時(shí)，f （x）有最大值4，∴A=4．
∴4=4sin（3×

π

12

+φ），∴sin（

π

4

+φ）=1．
即

π

4

+φ=2kπ+

π

2

，得：φ=2kπ+

π

4

（k∈Z）．
∵0＜φ＜π，∴φ=

π

4

，∴f （x）=4sin（3x+

π

4

）．
（3）∵f（

2

3

α+

π

12

）=4sin[3（

2α

3

+

π

12

）+

π

4

]=4sin（2α+

π

2

）=4cos2α=

12

5

，
∴cos2α=

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期性，屬于基礎(chǔ)題．