Question

設(shè)橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，點(diǎn)B，C分別是其上下頂點(diǎn)，點(diǎn)A在橢圓上且位于第一象限．直線AB交x軸于點(diǎn)M，直線AC交x軸于點(diǎn)N．
（1）若

AB

+

AM

=0，求A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若△AMN的面積大于△OCN的面積，求直線AB的斜率的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)M（a，0），可得a的坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可求得結(jié)論；
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+

3

，求出M，N，A的坐標(biāo)，表示面積，利用△AMN的面積大于△OCN的面積，建立不等式，即可求直線AB的斜率的取值范圍．

解答： 解：（1）橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，點(diǎn)B，C分別是其上下頂點(diǎn)，
點(diǎn)A在橢圓上且位于第一象限，直線AB交x軸于點(diǎn)M，直線AC交x軸于點(diǎn)N．
當(dāng)

AB

+

AM

=0時，A是線段BM的中點(diǎn)，
設(shè)M（a，0），∵B（0，

3

），∴A（

a

2

，

3

2

），
∵點(diǎn)A在橢圓上且位于第一象限，
∴

a2

16

+

3

12

=1，解得c=2

3

，或c=-2

3

（舍），
∴A（

3

，

3

2

）．
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+

3

，則M（-

3

k

，0）
y=kx+

3

代入橢圓方程可得A（-

8 3 k

3+4k2

，

3 3 -4 3 k2

3+4k2

），
∴直線AC的方程為y=-

3

4k

x-

3

，
∴N（-

4 3 k

3

，0）
∵△AMN的面積大于△OCN的面積，
∴

1

2

（-

3

k

+

4 3 k

3

）×

3 3 -4 3 k2

3+4k2

＞

1

2

×（-

4 3 k

3

）×

3

，
∴-

1

2

＜k＜0．

點(diǎn)評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．