Question

已知函數(shù)f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x（2-x）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）畫出函數(shù)f（x）的圖象（不需列表）；
（3）討論方程f（x）-k=0的根的情況．（只需寫出結(jié)果，不要解答過程）

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，及當x≥0時，f（x）=x（2-x），可以設(shè)x≤0，可得-x≥0，代入解析式化簡后，由偶函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（2）利用函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象，畫出函數(shù)的圖象，并描出重要的點；
（3）方程f（x）=k的根的情況，利用數(shù)形結(jié)合的方法進行討論．

解答： 解：（1）設(shè)x≤0，則-x≥0，
∵當x≥0時，f（x）=x（2-x），
∴f（-x）=-x（x+2）；…1分
由f（x）是定義域為R的偶函數(shù)知：f（-x）=f（x），…2分
∴f（x）=-x（x+2），（x∈（-∞，0]）；…3分
所以函數(shù)f（x）的解析式是f(x)=

x(2-x)，x∈[0，+∞) -x(x+2)，x∈(-∞，0)

．…4分
（2）函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：…8分
（說明：圖形形狀正確，給2分；兩點（-1，1），（1，1）少標示一個扣1分，共2分）
（3）由f（x）-k=0得：k=f（x），
根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象知：當k＜0或k=1時，方程f（x）-k=0有兩個根，…9分
當k=0時，方程f（x）-k=0有三個根，…10分
當0＜k＜1時，方程f（x）-k=0有四個根．…11分
當k＞1時，方程f（x）-k=0沒有實數(shù)根．…12分．

點評：本題主要考查偶函數(shù)的性質(zhì)及其解析式的求法，二次函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求方程解的個數(shù)，考查了數(shù)形結(jié)合思想．