Question

函數(shù)f（x）=x²+2x+a，f（f（x））=0有4個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用換元法，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)t=f（x），則條件f（f（x））=0等價(jià)為f（t）=0有4個(gè)根，
即f（x）=0有兩個(gè)正根，使[f（x）]²+2f（x）+a=0有4個(gè)根，
則判別式△＞0，即4-4a＞0，解得a＜1，
∵f（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1的最小值為a-1，
∴x₁＞a-1，x₂＞a-1，
即

x1+x2＞2a-2 x1x2＞(a-1)2

，
則

2a-2＜-2 (a-1)2＜a

，解得

a＜0 3- 5 2 ＜a＜ 3+ 5 2

，
解得

3- 5

2

＜a＜0，
故答案為：

3- 5

2

＜a＜0

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．