【題目】已知橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，離心率為，不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).

（1）若為線段的中點(diǎn)，求直線的方程.

（2）若點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且滿足，設(shè)直線與直線的斜率分別為，，問是否為定值？若是，請求出的值；若不是，請說明理由.

【答案】（1）（2）的值是定值，且值為

【解析】

（1）設(shè)橢圓的半焦距為，根據(jù)題意可得，解得，得到橢圓的方程為.設(shè)，.易知，由于點(diǎn)，都在橢圓上，得到，兩式相減得到，再根據(jù)為線段的中點(diǎn)求解.

（2）由（1）可知，直線，點(diǎn).設(shè)點(diǎn)，，根據(jù)，得.，再代入求解.

（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意可得，解得.

故橢圓的方程為.

設(shè)，.易知，

由于點(diǎn)，都在橢圓上，所以，

所以.

因?yàn)?/span>為線段的中點(diǎn)，

所以.

故直線的方程為，即.

（2）由（1）可知，直線，點(diǎn).

設(shè)點(diǎn)，，

易知.因?yàn)?/span>，

所以，得.

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即.

所以，

所以的值是定值，且值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在底面是菱形的四棱錐中，E為CD中點(diǎn)，，，已知.

（1）證明：；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

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【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)面是菱形，，是棱的中點(diǎn)，，在線段上，且.

（1）證明：面；

（2）若，面面，求二面角的余弦值．

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【題目】如圖，過拋物線上的一點(diǎn)作拋物線的切線，分別交x軸于點(diǎn)D交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)Q在拋物線上，點(diǎn)E，F分別在線段AQ，BQ上，且滿足，，線段QD與交于點(diǎn)P.

（1）當(dāng)點(diǎn)P在拋物線C上，且時，求直線的方程；

（2）當(dāng)時，求的值.

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【題目】如圖，在摩天輪底座中心與附近的景觀內(nèi)某點(diǎn)之間的距離為m.摩天輪與景觀之間有一建筑物，此建筑物由一個底面半徑為m的圓柱體與一個半徑為m的半球體組成.圓柱的地面中心在線段上，且為m.半球體球心到地面的距離為m.把摩天輪看做一個半徑為m的圓，且圓在平面內(nèi)，點(diǎn)到地面的距離為m.把摩天輪均勻旋轉(zhuǎn)一周需要min，若某游客乘坐摩天輪（把游客看作圓上的一點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)一周，求該游客能看到點(diǎn)的時長.（只考慮此建筑物對游客視線的遮擋）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）若，求在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

（2）若在上的最大值為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖， 為圓的直徑，點(diǎn)， 在圓上， ，矩形和圓所在的平面互相垂直，已知， ．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的大小；

（Ⅲ）當(dāng)的長為何值時，二面角的大小為．

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【題目】設(shè)橢圓（）的左右焦點(diǎn)分別為，橢圓的上頂點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且.

（1）求橢圓的離心率；

（2）若，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.

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【題目】為了研究國民收入在國民之間的分配，避免貧富過分懸殊，美國統(tǒng)計(jì)學(xué)家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線，如圖所示：勞倫茨曲線為直線時，表示收入完全平等，勞倫茨曲線為折線時，表示收入完全不平等記區(qū)域為不平等區(qū)域，表示其面積，為的面積．將，稱為基尼系數(shù)．對于下列說法：

①越小，則國民分配越公平；

②設(shè)勞倫茨曲線對應(yīng)的函數(shù)為，則對，均有；

③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為，則；

④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為，則．

其中不正確的是：（ ）

A.①④B.②③C.①③④D.①②④

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