【題目】已知橢圓的中心為原點(diǎn)
,焦點(diǎn)為
,離心率為
,不與坐標(biāo)軸垂直的直線
與橢圓
交于
,
兩點(diǎn).
(1)若為線段
的中點(diǎn),求直線
的方程.
(2)若點(diǎn)是直線
上一點(diǎn),點(diǎn)
在橢圓
上,且滿足
,設(shè)直線
與直線
的斜率分別為
,
,問
是否為定值?若是,請(qǐng)求出
的值;若不是,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)(2)
的值是定值,且值為
【解析】
(1)設(shè)橢圓的半焦距為
,根據(jù)題意可得
,解得
,得到橢圓
的方程為
.設(shè)
,
.易知
,由于點(diǎn)
,
都在橢圓上,得到
,兩式相減得到
,再根據(jù)
為線段
的中點(diǎn)求解.
(2)由(1)可知,直線,點(diǎn)
.設(shè)點(diǎn)
,
,根據(jù)
,得
.,再代入
求解.
(1)設(shè)橢圓的半焦距為
,由題意可得
,解得
.
故橢圓的方程為
.
設(shè),
.易知
,
由于點(diǎn),
都在橢圓上,所以
,
所以.
因?yàn)?/span>為線段
的中點(diǎn),
所以.
故直線的方程為
,即
.
(2)由(1)可知,直線,點(diǎn)
.
設(shè)點(diǎn),
,
易知.因?yàn)?/span>
,
所以,得
.
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓
上,所以
,即
.
所以,
所以的值是定值,且值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,側(cè)面
是菱形,
,
是棱
的中點(diǎn),
,
在線段
上,且
.
(1)證明:面
;
(2)若,面
面
,求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,過拋物線上的一點(diǎn)
作拋物線的切線,分別交x軸于點(diǎn)D交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)Q在拋物線上,點(diǎn)E,F分別在線段AQ,BQ上,且滿足
,
,線段QD與
交于點(diǎn)P.
(1)當(dāng)點(diǎn)P在拋物線C上,且時(shí),求直線
的方程;
(2)當(dāng)時(shí),求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在摩天輪底座中心與附近的景觀內(nèi)某點(diǎn)
之間的距離
為
m.摩天輪與景觀之間有一建筑物,此建筑物由一個(gè)底面半徑為
m的圓柱體與一個(gè)半徑為
m的半球體組成.圓柱的地面中心
在線段
上,且
為
m.半球體球心
到地面的距離
為
m.把摩天輪看做一個(gè)半徑為
m的圓
,且圓
在平面
內(nèi),點(diǎn)
到地面的距離
為
m.把摩天輪均勻旋轉(zhuǎn)一周需要
min,若某游客乘坐摩天輪(把游客看作圓
上的一點(diǎn))旋轉(zhuǎn)一周,求該游客能看到點(diǎn)
的時(shí)長(zhǎng).(只考慮此建筑物對(duì)游客視線的遮擋)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 為圓
的直徑,點(diǎn)
,
在圓
上,
,矩形
和圓
所在的平面互相垂直,已知
,
.
(Ⅰ)求證:平面平面
;
(Ⅱ)求直線與平面
所成角的大。
(Ⅲ)當(dāng)的長(zhǎng)為何值時(shí),二面角
的大小為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓(
)的左右焦點(diǎn)分別為
,橢圓的上頂點(diǎn)為點(diǎn)
,點(diǎn)
為橢圓
上一點(diǎn),且
.
(1)求橢圓的離心率;
(2)若,過點(diǎn)
的直線交橢圓于
兩點(diǎn),求線段
的中點(diǎn)
的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了研究國(guó)民收入在國(guó)民之間的分配,避免貧富過分懸殊,美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線,如圖所示:勞倫茨曲線為直線時(shí),表示收入完全平等,勞倫茨曲線為折線
時(shí),表示收入完全不平等記區(qū)域
為不平等區(qū)域,
表示其面積,
為
的面積.將
,稱為基尼系數(shù).對(duì)于下列說法:
①越小,則國(guó)民分配越公平;
②設(shè)勞倫茨曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為,則對(duì)
,均有
;
③若某國(guó)家某年的勞倫茨曲線近似為,則
;
④若某國(guó)家某年的勞倫茨曲線近似為,則
.
其中不正確的是:( )
A.①④B.②③C.①③④D.①②④
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