Question

9．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{12}{a^2}$，b=2，則a+$\frac{4}{a}$的最小值為4．

Answer 1

分析 根據(jù)題意和三角形的面積求出a的表達(dá)式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍，利用基本不等式求出a+$\frac{4}{a}$的最小值．

解答 解：由題意知，△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{12}{a^2}$，b=2，
∴$\frac{1}{2}absinA=\frac{\sqrt{3}}{12}{a}^{2}$，則$sinA=\frac{\sqrt{3}}{12}a$，
∵0＜A＜π，∴$0＜\frac{\sqrt{3}}{12}a≤1$，解得0＜a≤4$\sqrt{3}$，
∴a+$\frac{4}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{4}{a}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)$a=\frac{4}{a}$，即a=2時(shí)取等號(hào)，
∴a+$\frac{4}{a}$的最小值為4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值問題，正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及三角形的面積公式，屬于中檔題．