Question

6．已知向量$\overrightarrow a$=（m，0}），向量$\overrightarrow b，\overrightarrow c$滿足$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow{b$，$\overrightarrow c$-$\overrightarrow a$=2$\overrightarrow b$，且|$\overrightarrow c$|=$\sqrt{10}$，若$\overrightarrow c$與$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$夾角的余弦值為$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，則|$\overrightarrow b$|=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{5}{4}$或2
• D． $\sqrt{2}$或$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)條件便可設(shè)$\overrightarrow=（0，n）$，并可得出$\overrightarrow{c}=（m，2n），\overrightarrow{a}+\overrightarrow=（m，n）$，從而根據(jù)$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{10}$，及$cos＜\overrightarrow{c}，\overrightarrow{a}+\overrightarrow＞=\frac{3\sqrt{10}}{10}$即可得出關(guān)于m，n的方程組為：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{m}^{2}+4{n}^{2}}=\sqrt{10}}\\{\frac{{m}^{2}+2{n}^{2}}{\sqrt{10}•\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}}\end{array}\right.$，這兩個(gè)方程聯(lián)立消去m便可得出關(guān)于n的方程，從而解出|n|的值便可得出$|\overrightarrow|$的值．

解答 解：由$\overrightarrow{a}=（m，0），\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$設(shè)$\overrightarrow=（0，n）$；
∴由$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}=2\overrightarrow$得，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow=（m，2n）$；
∴$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{{m}^{2}+4{n}^{2}}=\sqrt{10}$；
∴m²+4n²=10；
∴m²=10-4n²①；
又$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=（m，n）$；
∴$cos＜\overrightarrow{c}，\overrightarrow{a}+\overrightarrow＞$=$\frac{\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}{|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}=\frac{{m}^{2}+2{n}^{2}}{\sqrt{10}•\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$；
∴${m}^{2}+2{n}^{2}=3\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，帶入①并兩邊平方得：
（10-2n²）²=9（10-3n²）；
整理得，4n⁴-13n²+10=0；
∴解得n²=2，或$\frac{5}{4}$；
∴$|n|=\sqrt{2}，或\frac{\sqrt{5}}{2}$；
即$|\overrightarrow|=\sqrt{2}，或\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 考查引入向量坐標(biāo)解決向量問題的方法，向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量坐標(biāo)的加法和數(shù)乘運(yùn)算，根據(jù)向量的坐標(biāo)可求向量的長度，以及向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，消元法的運(yùn)用，以及一元二次方程的解法，向量長度的概念．