Question

14．某學校對參加“社會實踐活動”的全體志愿者進行學分考核，因該批志愿者表現(xiàn)良好，學校決定考核只有合格和優(yōu)秀兩個等次，若某志愿者考核我合格，授予1個學分；考核為優(yōu)秀，授予2個學分，假設該校志愿者甲、乙、丙考核為優(yōu)秀的概率分別為$\frac{4}{5}，\frac{2}{3}，\frac{2}{3}$，他們考核所得的等次相互獨立．
（1）求在這次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率；
（2）記在這次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得學分之和為隨機變量X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）記“甲考核為優(yōu)秀”為事件A，“乙考核為優(yōu)秀”為事件B，“丙考核為優(yōu)秀”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核為優(yōu)秀”為事件D．由此利用P（D）=1-P（$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$），能求出在這次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率．
（2）由題意，得X的可能取值是3，4，5，6，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（1）記“甲考核為優(yōu)秀”為事件A，“乙考核為優(yōu)秀”為事件B，
“丙考核為優(yōu)秀”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核為優(yōu)秀”為事件D．
則P（D）=1-P（$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$）=1-P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）P（$\overline{C}$）
=1-$\frac{1}{5}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$
=$\frac{44}{45}$．
（2）由題意，得X的可能取值是3，4，5，6．
因為P（X=3）=P（$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$）=P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）P（$\overline{C}$）=$\frac{1}{45}$，
P（X=4）=P（A$\overline{B}$$\overline{C}$）+P（$\overline{A}B\overline{C}$）+P（$\overline{A}\overline{B}C$）=$\frac{8}{45}$，
P（X=5）=P（$\overline{A}BC$）+P（A$\overline{B}$C）+P（AB$\overline{C}$）=$\frac{4}{9}$，
P（X=6）=P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=$\frac{16}{45}$，
所以X的分布列為：

X	3	4	5	6
P	$\frac{1}{45}$	$\frac{8}{45}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{16}{45}$

E（X）=3×$\frac{1}{45}$+4×$\frac{8}{45}$+5×$\frac{4}{9}$+6×$\frac{16}{45}$=$\frac{77}{15}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運用．