Question

8．若存在α，β∈R，使得$\left\{{\begin{array}{l}{t={{cos}^3}β+\frac{α}{2}cosβ}\\{α≤t≤α-5cosβ}\end{array}}\right.$，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是[$-\frac{2}{3}$，1]．

Answer 1

分析 由α≤α-5cosβ，得到cosβ＜0，由已知α≤t，即$t≥\frac{2co{s}^{3}β}{2-cosβ}$，令$f（t）=\frac{2co{s}^{3}β}{2-cosβ}$，則f′（t）=$\frac{4co{s}^{2}βsinβ（2cosβ-3）}{（2-cosβ）^{2}}$，令f′（t）=0，則sinβ=0，當(dāng)sinβ=0時(shí)，f（t）取得最小值，然后由t≤α-5cosβ，即$t≤\frac{2co{s}^{3}β+5co{s}^{2}β}{2-cosβ}$，令$f（t）=\frac{2co{s}^{3}β+5co{s}^{2}β}{2-cosβ}$，則${f}^{′}（t）=\frac{cosβsinβ（-7cosβ+4co{s}^{2}β-20）}{（2-cosβ）^{2}}$．令f′（t）=0，則sinβ=0．當(dāng)sinβ=0時(shí)，f（t）取得最大值．

解答 解：∵α≤α-5cosβ，
∴0≤-5cosβ．∴cosβ＜0．
∵α≤t，∴$t≥co{s}^{3}β+\frac{t}{2}cosβ$，即$t≥\frac{2co{s}^{3}β}{2-cosβ}$．
令$f（t）=\frac{2co{s}^{3}β}{2-cosβ}$，則f′（t）=$\frac{-6co{s}^{2}βsinβ（2-cosβ）-2co{s}^{3}βsinβ}{（2-cosβ）^{2}}$=$\frac{4co{s}^{2}βsinβ（2cosβ-3）}{（2-cosβ）^{2}}$，
令f′（t）=0，則sinβ=0．
∴當(dāng)sinβ=0時(shí)，f（t）取得最小值．f（t）=$\frac{-2}{2+1}=-\frac{2}{3}$．
∵t≤α-5cosβ，∴α≥t+5cosβ．
∴$t≤co{s}^{3}β+\frac{t+5cosβ}{2}cosβ$即$t≤\frac{2co{s}^{3}β+5co{s}^{2}β}{2-cosβ}$．
令$f（t）=\frac{2co{s}^{3}β+5co{s}^{2}β}{2-cosβ}$，則${f}^{′}（t）=\frac{cosβsinβ（-7cosβ+4co{s}^{2}β-20）}{（2-cosβ）^{2}}$．
令f′（t）=0，則sinβ=0．
當(dāng)sinβ=0時(shí)，f（t）取得最大值．f（t）=$\frac{-2+5}{2+1}=1$．
則實(shí)數(shù)t的取值范圍是：[$-\frac{2}{3}$，1]．
故答案為：[$-\frac{2}{3}$，1]．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換應(yīng)用，考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，計(jì)算量大，具有一定的難度，是難題．