Question

13．已知點(diǎn)P在直徑為$\sqrt{2}$的球面上，過(guò)點(diǎn)P作球的兩兩垂直的三條弦PA、PB、PC，若PA=PB，則PA+PB+PC的最大值為（　�。�

• A． $\sqrt{6}$
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． $\sqrt{2}$+2
• D． 3

Answer 1

分析 由已知，PA，PB，PC兩兩垂直，點(diǎn)P在直徑為$\sqrt{2}$的球面上，球直徑等于以PA，PB，PC為棱的長(zhǎng)方體的對(duì)角線，得到2PB²+PC²=2，再結(jié)合三角換元法，由三角函數(shù)的性質(zhì)得到PA+PB+PC的最大值．

解答 解：∵PA，PB，PC兩兩垂直，點(diǎn)P在直徑為$\sqrt{2}$的球面上，
∴以PA，PB，PC為棱的長(zhǎng)方體的對(duì)角線即為球的一條直徑．
∴2=PA²+PB²+PC²，又PA=PB，∴2PB²+PC²=2，
設(shè)PB=cosα，PC=$\sqrt{2}$sinα，
則PA+PB+PC=2PB+PC=2cosα+$\sqrt{2}$sinα=$\sqrt{6}$sin（α+φ）≤$\sqrt{6}$．
則PA+PB+PC的最大值為$\sqrt{6}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的內(nèi)接幾何體，其中根據(jù)已知條件，得到棱錐的外接球直徑等于以PA，PB，PC為棱的長(zhǎng)方體的對(duì)角線，是解答本題的關(guān)鍵．