Question

16．如圖，六面體ABCDHEFG中，四邊形ABCD為菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD，若DA=DH=DB=4，AE=CG=3
（1）求證：EG⊥DF；
（2）求BE與平面EFGH所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，則可證AC⊥平面BDF，由四邊形AEGC為平行四邊形得出EG∥AC，故而EG⊥平面BDF，于是EG⊥DF；
（2）設(shè)AC，BD交點為O，以O(shè)為原點建立空間坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{BE}$和平面EFGH的法向量$\overrightarrow{n}$，則|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BE}$＞|即為所求角的正弦值．

解答 解：（1）連接AC
∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，
∵BF⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥BF，
又BD?平面BDF，BF?平面BDF，BD∩BF=B，
∴AC⊥平面BDF，
∵AE∥CG，AE=CG，
∴四邊形AEGC是平行四邊形，
∴EG∥AC，
∴EG⊥平面BDF，又DF⊆平面BDF，
∴EG⊥DF．
（2）設(shè)AC∩BD=O，EG∩HF=P，
∵四邊形ABCD為菱形，AE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，
∴AD∥BC，AE∥BF，
∴平面ADHE∥平面BCGF，
∴EH∥FG，
同理可得：EH∥HG，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，∴P為EG的中點，
又O為AC的中點，∴OP∥AE，AE=OP，
∴OP⊥平面ABCD，
又OA⊥OB，所以O(shè)A，OB，OP兩兩垂直，
∵OP=$\frac{1}{2}$（BF+DH），∴BF=2．
以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
∵△ABD是等邊三角形，AB=4，∴OA=2$\sqrt{3}$．
∴E（2$\sqrt{3}$，0，3），P（0，0，3），F(xiàn)（0，2，2），B（0，2，0）．
∴$\overrightarrow{BE}$=（2$\sqrt{3}$，-2，3），$\overrightarrow{PE}$=（2$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{PF}$=（0，2，-1）．
設(shè)平面EFGH的一個法向量為$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{PE}•\overrightarrow n=0\\ \overrightarrow{PF}•\overrightarrow n=0\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ 2y-z=0\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow n=（{0，1，2}）$．
設(shè)BE與平面EFGH所成角為θ，則$sinθ=\frac{{|{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow{BE}}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{{4\sqrt{5}}}{25}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，空間向量的應(yīng)用與線面角的計算，屬于中檔題．