Question

已知函數(shù)f（x）=1-

3

sin2x+2cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及取得最大值時的x集合；
（Ⅱ）設△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=1，f（A）=0．求b+c的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值,兩角和與差的正弦函數(shù),余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先將解析式化簡為一個角的一個三角函數(shù)名稱的形式，然后求值；
（Ⅱ）利用f（A）=0求出角A，結(jié)合正弦定理，得到B的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=1-

3

sin2x+2cos2x=cos2x-

3

sin2x+2=2cos(2x+

π

3

)+2
故f（x）的最大值為4；
當2x+

π

3

=2kπ（k∈Z）時取最大值，x的集合為{x|x=kπ-

π

6

，k∈Z}；
（Ⅱ）由f（A）=0得2cos(2A+

π

3

)+2=0．
所以2A+

π

3

=2kπ+π．
又0＜A＜π，故A=

π

3

；
由正弦定理，b=

a

sinA

•sinB=

2

3

sinB，c=

2

3

sinC．
b+c=

2

3

(sinB+sinC)=

2

3

[sinB+sin(

2π

3

-B)]
=2sin(B+

π

6

)
∵A=

π

3

，∴B∈（0，

2π

3

），∴B+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

）∴sin（B+

π

6

）∈（

1

2

，1]．
b+c的取值范圍為（1，2]．

點評：本題考查了三角函數(shù)恒等式的化簡，一般地，要求三角函數(shù)解析式的最值、周期等問題時，首先將解析式化簡為一個角的一個三角函數(shù)名稱的形式，然后解答．