• 13．直線l的斜率為-1，在y軸上的截距為1，且與雙曲線3x2-y2=1交于A、B兩點，求證：OA⊥OB（O為坐標原點）

    分析 求得直線l的方程，代入雙曲線的方程，運用韋達定理，由向量的數(shù)量積為0，即可得證．

    解答 證明：由題意可得直線l的方程為y=-x+1，
    代入雙曲線的方程3x2-y2=1，可得
    x2+x-1=0，
    設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
    可得x1+x2=-1，x1x2=-1，
    即有x1x2+y1y2=x1x2+（1-x1）（1-x2）=2x1x2+1-（x1+x2）
    =-2+1+1=0，
    即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即有OA⊥OB．

    點評 本題考查雙曲線的方程的運用，注意聯(lián)立直線方程，運用韋達定理和向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．

    練習冊系列答案
    相關(guān)習題

    科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

    18．解不等式ax2-（a+1）x+1＜0．

    查看答案和解析>>

    科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

    4．已知向量$\overrightarrow a=（-1，2）$，$\overrightarrow b=（2，3）$，$\overrightarrow m=λ\overrightarrow a+\overrightarrow b$，$\overrightarrow n=\overrightarrow a-\overrightarrow b$，若$\overrightarrow m$與$\overrightarrow n$垂直，則實數(shù)λ的值是9，若$\overrightarrow m$與$\overrightarrow n$的夾角為鈍角，則實數(shù)λ的取值范圍是λ＜9且λ≠-1．

    查看答案和解析>>

    科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

    1．中心在原點，焦點在y軸上，虛軸長為$4\sqrt{2}$并且離心率為3的雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$x．

    查看答案和解析>>

    科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

    8．已知雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{5}$，虛軸長為4．
    （Ⅰ）求雙曲線的標準方程；
    （Ⅱ）過點（0，1），傾斜角為45°的直線l與雙曲線C相交于A、B兩點，O為坐標原點，求△OAB的面積．

    查看答案和解析>>

    科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

    18．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線的夾角為90°，則雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$．

    查看答案和解析>>

    科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

    5．若雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）經(jīng)過等腰梯形ABCD的上底的兩個頂點C、D，下底的兩個頂點A、B分別為雙曲線的左、右焦點，對角線AC與雙曲線的左支交于點E，且3|AE|=2|EC|，|AB|=2|CD|，則該雙曲線的離心率是（　�。�
    A．$\sqrt{2}$B．$\sqrt{3}$C．$\sqrt{5}$D．$\sqrt{7}$

    查看答案和解析>>

    科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

    2．已知雙曲線C的離心率為$\sqrt{3}$，焦點為F1，F(xiàn)2，點A在曲線C上，若|F1A|=3|F2A|，則cos∠AF2F1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

    查看答案和解析>>

    科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

    3．已知$\overrightarrow{AM}=-3\overrightarrow{MB}$，O為平面內(nèi)任意一點，則下列各式成立的是（　�。�
    A．$\overrightarrow{OM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{2}\overrightarrow{OB}$B．$\overrightarrow{OM}=-\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$C．$\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$D．$\overrightarrow{OM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{OA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$

    查看答案和解析>>

    同步練習冊答案