Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（1，e）和（e，

3

2

），其中e為橢圓的離心率．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）為橢圓C上一點(diǎn)，取點(diǎn)A(0，

2

)，E(x0，0)，連接AE，過點(diǎn)A作AE的垂線交x軸于點(diǎn)D．點(diǎn)G是點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，證明：直線QG與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）把點(diǎn)（1，e）和（e，

3

2

）代入橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，求出a²=2，b²=1，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)D（x₁，0），由題意知AE與AD垂直，

AE

•

AD

=x1

x

0

+2=0，由點(diǎn)G是點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，得到G（

2

x0

，0），由此推導(dǎo)出直線QG與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點(diǎn)（1，e）和（e，

3

2

），
∴

1 a2 + e2 b2 =1 e2 a2 + 3 4 b2 =1

，∴

1 a2 + a2-b2 a2b2 =1 a2-b2 a4 + 3 4b2 =1

，
解得a²=2，b²=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）證明：設(shè)D（x₁，0），∵A（0，

2

），E（x₀，0），
∴

AE

=（x0，-

2

），

AD

=（x1，-

2

），
由題意知AE與AD垂直，∴

AE

•

AD

=x1

x

0

+2=0，∴x₁=-

2

x0

，
又∵點(diǎn)G是點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，
∴G（

2

x0

，0），
∴kQG=

y0-0

x0- 2 x0

=

y0•x0

x02-2

=

x0

-2y0

，
∴l(xiāng)_QC：y-y0=-

x0

2y0

(x-x0)，
整理，得y=

2-x0•x

2y0

，（*）
將（*）式代入橢圓方程，得x2+2•(

2-x0•x

2y0

)2=2，
整理，得2x²-4x₀•x+2x 0 ²=0，
△=（-4x₀）²-4（2×

2x

2 0

）=0
∴直線QG與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．