Question

7．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD，E為PC的中點，F(xiàn)為PB上一點，且EF⊥PB．
（1）證明：PA∥平面EDB；
（2）證明：AC⊥DF；
（3）求平面ABCD和平面DEF所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接AC交BD于點G，連接EG．通過中位線定理及線面平行的判定定理即得結論；
（2）由題易得AC⊥PD，通過線面垂直的性質定理可得結論；
（3）建立如圖所示的空間直角坐標系，所求值即為平面DEF的一個法向量與平面ABCD的一個法向量的夾角的余弦值，計算即可．

解答 證明：（1）連接AC交BD于點G，連接EG．
∵四邊形ABCD是正方形，∴點G是AC的中點，
又∵E為PC的中點，因此EG∥PA．
而EG?平面EDB，所以PA∥平面EDB．
（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∵PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，∴AC⊥PD．
而PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，
又DF?平面PBD，所以AC⊥DF．
（3）建立如圖所示的空間直角坐標系，則有D（0，0，0），P（0，0，1），
A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），所以E（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
設F（k，k，l），（kl≠0），則$\overrightarrow{EF}$=（k，k-$\frac{1}{2}$，l-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-1）．
由EF⊥PB，得$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{PB}$=0，即$k+k-\frac{1}{2}-（l-\frac{1}{2}）=0$，
即l=2k，故F（k，k，2k）．
設平面DEF的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{0+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\\{kx+ky+2kz=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-z}\\{y=-z}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（-1，-1，1），
又$\overrightarrow{DP}$=（0，0，1）是底面ABCD的一個法向量，
∴$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{DP}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{DP}|}$=$\frac{0+0+1}{\sqrt{3}×1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故平面ABCD和平面DEF所成二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查二面角，空間中線線垂直、線面平行的判定定理，向量數(shù)量積運算，注意解題方法的積累，建立坐標系是解決本題的關鍵，屬于中檔題．