Question

1．已知函數(shù)f（x）的圖象在點（x₀，f（x₀））處的切線方程為l：y=g（x），若函數(shù)f（x）滿足?x∈I（其中I為函數(shù)f（x）的定義域），當(dāng)x≠x₀時，（f（x）-g（x））（x-x₀）＜0恒成立，則稱x=x₀為函數(shù)f（x）的“分界點”．已知函數(shù)f（x）滿足f（1）=5，f′（x）=6-2x-$\frac{4}{x}$，則函數(shù)f（x）的“分界點”的個數(shù)為（　�。�

• A． 0個
• B． 1個
• C． 2個
• D． 無數(shù)個

Answer 1

分析 可設(shè)f（x）=6x-x²-4lnx+t，由導(dǎo)數(shù)可得t=0，再由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合新定義，即可得到所求個數(shù)．

解答 解：f（x）滿足f（1）=5，f′（x）=6-2x-$\frac{4}{x}$，
可設(shè)f（x）=6x-x²-4ln|x|+t，
由6-1-0+t=5，可得t=0，
即有f（x）=6x-x²-4ln|x|，
當(dāng)x＞0時，y=6x-x²-4lnx，
當(dāng)x＜0時，y=6x-x²-4ln（-x），
當(dāng)x＞0時，由f′（x）＞0可得1＜x＜2，
由f′（x）＜0可得x＞2或0＜x＜1，
即f（x）的增區(qū)間為（1，2），減區(qū)間為（0，1），（2，+∞），
作出函數(shù)f（x）（x＞0）的圖象，
當(dāng)x＜0時，f′（x）=6-2x-$\frac{4}{x}$＞0成立，f（x）遞增，
f″（x）=-2+$\frac{4}{{x}^{2}}$=0，解得x=±$\sqrt{2}$，x=-$\sqrt{2}$滿足．
由新定義，當(dāng)x≠x₀時，（f（x）-g（x））（x-x₀）＜0恒成立，
則稱x=x₀為函數(shù)f（x）的“分界點”．
通過圖象可得“分界點”有一個．
故選：B．

點評 本題考查新定義的理解和運用，考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間，通過數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵．