Question

6．已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，S_n為其前n項(xiàng)和．
（1）S₄，S₁₀，S₇成等差數(shù)列，證明：a₁，a₇，a₄也成等差數(shù)列；
（2）設(shè)S₃=$\frac{3}{2}$，S_b=$\frac{21}{16}$，b_n=λa_n-n²，若數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知2S₁₀=S₄+S₇，代入等比數(shù)列求和公式整理得1+q³=2q⁶．進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可推斷a₁+a₄=2a₇．進(jìn)而證明原式．
（2）把等比數(shù)列的求和公式代入S₃和S₆，兩式相除即可求得q，把q代入S₃求得a₁，進(jìn)而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞減數(shù)列可知b_n+1＜b_n，把b_n=λa_n-n²代入不等式，進(jìn)而根據(jù)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n=1時(shí)取最大值；n是偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n=2時(shí)取最大值，進(jìn)而得到λ的范圍．

解答 （1）證明：設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
因?yàn)镾₄，S₁₀，S₇成等差數(shù)列，所以q≠1，且2S₁₀=S₄+S₇．
因?yàn)?-q≠0，所以化簡可得1+q³=2q⁶．
所以a₁+a₁q³=2a₁q⁶，即a₁+a₄=2a₇．
所以a₁，a₇，a₄也成等差數(shù)列．
（2）解：因?yàn)镾₃=$\frac{3}{2}$，S₆=$\frac{21}{16}$，
所以$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$=$\frac{3}{2}$，①$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=$\frac{21}{16}$，②
由②÷①，得1+q³=$\frac{7}{8}$，所以q=-$\frac{1}{2}$，代入①，得a₁=2．
所以a_n=$2•（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，
又因?yàn)閎_n=λa_n-n²，所以b_n=2λ•$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$-n²，
由題意可知對任意n∈N^*，數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減，
所以b_n+1＜b_n，即2λ•$（-\frac{1}{2}）^{n}$-n²＜2λ•$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$-n²，
即6λ•$（-\frac{1}{2}）^{n}$＜2n+1對任意n∈N^*恒成立，
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，λ＞-$\frac{（2n+1）•{2}^{n}}{6}$，當(dāng)n=1時(shí)，-$\frac{（2n+1）•{2}^{n}}{6}$取得最大值-1，
所以λ＞-1；
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，λ＜$\frac{（2n+1）•{2}^{n}}{6}$，當(dāng)n=2時(shí)，-$\frac{（2n+1）•{2}^{n}}{6}$取得最小值$\frac{10}{3}$，
所以λ＜$\frac{10}{3}$．
綜上可知，-1＜λ＜$\frac{10}{3}$，即實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-1，$\frac{10}{3}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了學(xué)生根據(jù)已知條件，分析和解決問題的能力．