Question

7．已知函數(shù)f（x）=a^x，g（x）=a^2x-b，其中b＜0，a＞0且a≠1．當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，y=f（x）的最大值與最小值之和為$\frac{5}{2}$．
（1）求a的值； 
（2）若a＞1，且不等式|$\frac{f（x）+bg（x）}{f（x）}$|≤1在x∈[0，1]恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=a^x為單調(diào)函數(shù)，即有a^-1+a=$\frac{5}{2}$，即可得到a的值；
（2）化簡不等式可得-1≤1+b•2^x-b²•2^-x≤1，運(yùn)用換元法和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=a^x為單調(diào)函數(shù)，
即有a^-1+a=$\frac{5}{2}$，解得a=2或$\frac{1}{2}$；
（2）a＞1，且不等式|$\frac{f（x）+bg（x）}{f（x）}$|≤1在x∈[0，1]恒成立，
即為|1+b•2^x-b²•2^-x|≤1，即為-1≤1+b•2^x-b²•2^-x≤1，
即b•2^x-b²•2^-x≤0，即為2^x≥b•2^-x，（b＜0）顯然成立；
又2+b•2^x-b²•2^-x≥0在[0，1]恒成立，
令t=2^x（1≤t≤2），可得bt²+2t-b²≥0，
由b＜0，可得-bt²-2t+b²≤0，在[1，2]恒成立，
即有$\left\{\begin{array}{l}{-b-2+^{2}≤0}\\{-4b-4+^{2}≤0}\end{array}\right.$，即為$\left\{\begin{array}{l}{-1≤b≤2}\\{2-2\sqrt{2}≤b≤2+2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
可得2-2$\sqrt{2}$≤b＜0，
則b的取值范圍是[2-2$\sqrt{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，同時(shí)考查不等式恒成立問題的解法，注意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用和二次函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．