Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²，如果P_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，則

lim

n→∞

Pn的值為（　　）

• A、

  1

  3

• B、-

  1

  3

• C、

  1

  2

• D、-

  1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用公式法先求得a_n=2n-1．再求得

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用裂項(xiàng)法求得p_n，即可得出結(jié)論．

解答： 解：∵S_n=n²，
∴a₁=s₁=1，
n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n+1=n²-（n-1）²=2n-1，對(duì)n=1時(shí)也成立，
∴a_n=2n-1．
∴

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴P_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

1

2

-

1

4n+2

，
∴

lim

n→∞

Pn=

lim

n→∞

（

1

2

-

1

4n+2

）=

1

2

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用公式法求數(shù)列的通項(xiàng)公式及利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和問題，屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握．