Question

5．給出下列命題：
①函數f（x）=x³+ax²+ax-a既有極大值又有極小值，則a＜0或a＞3；
②若f（x）=（x²-8）e^x，則f（x）的單調遞減區(qū)間為（-4，2）；
③過點A（a，a）可作圓x²+y²-2ax+a²+2a-3=0的兩條切線，則實數a的取值范圍為a＜-3或a＞1；
④雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為e₁，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1的離心率為e₂，則e₁+e₂的最小值為2$\sqrt{2}$．
其中為真命題的序號是①②④．

Answer 1

分析 ①根據函數極值和導數之間的關系進行判斷．
②令f′（x）=（x+4）（x-2）e^x＜0，解得即可得出f（x）的單調遞減區(qū)間；
③根據點與圓的位置關系進行判斷．
④由于e₁+e₂=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{^{2}}}$=$\frac{c}{a}+\frac{c}$≥$\frac{2}{\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}}}×c$即可判斷出．

解答 解：①∵f（x）=x³+ax²+ax-a，∴f′（x）=3x²+2ax+a
若函數f（x）=x³+ax²+ax-a既有極大值又有極小值
∴△=（2a）²-4×3×a＞0，∴a＞3或a＜0，故①正確，
②若f（x）=（x²-8）e^x，則f′（x）=（x²+2x-8）e^x，由f′（x）＜0，
得x²+2x-8＜0．即-4＜x＜2，即f（x）的單調遞減區(qū)間為（-4，2）；故②正確，
③過點A（a，a）可作圓x²+y²-2ax+a²+2a-3=0的兩條切線，
則點A在圓的外部，圓的標準方程為（x-a）²+y²=3-2a，
可得圓心P坐標為（a，0），半徑r=$\sqrt{3-2a}$，且3-2a＞0，即a＜$\frac{3}{2}$，
∵點A在圓外，是|AP|=$\sqrt{（a-a）^{2}+（a-0）^{2}}$＞r=$\sqrt{3-2a}$，
即有a²＞3-2a，整理得：a²+2a-3＞0，即（a+3）（a-1）＞0，
解得：a＜-3或a＞1，又a＜$\frac{3}{2}$，
可得a＜-3或1＜a＜$\frac{3}{2}$，故③錯誤；
④雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的離心率為e₁，雙曲線$\frac{x^2}{b^2}-\frac{y^2}{a^2}$=1的離心率為e₂，
則e₁+e₂=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{{a}^{2}}{^{2}}}$=$\frac{c}{a}+\frac{c}$≥$\frac{2}{\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}}}×c$=2$\sqrt{2}$，當且僅當a=b時取等號．其最小值為2$\sqrt{2}$，正確．
故答案為：①②④．

點評 本題考查了命題的真假判斷，涉及利用導數研究函數的單調性極值、圓錐曲線的標準方程及其性質，點與圓的位置關系，考查了推理能力與計算能力，涉及的指數點交點，綜合性較強．