Question

15．高二數(shù)學(xué)ICTS競賽初賽考試后，某校對(duì)95分以上的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M；
（2）從所有95分以上的考生成績中，又放回的抽取4次，記這4次成績位于（95，105]之間的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．（以直方圖中的頻率作為概率）（分布列結(jié)果不用化簡）

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖，能求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
（2）X的可能取值為0，1，2，3，4，X～B（4，$\frac{1}{10}$），由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖，得這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)：
M=100×0.1+110×0.25+120×0.45+130×0.15+140×0.05=118，…（4分）
（2）X的可能取值為0，1，2，3，4．…（5分）
某個(gè)考生成績位于（95，105]的概率=0.01×10=$\frac{1}{10}$…（6分）
因此X～B（4，$\frac{1}{10}$），…（8分）
∴P（X=0）=${C}_{4}^{0}（\frac{9}{10}）^{4}$=$\frac{6561}{10000}$，
P（X=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{10}）（\frac{9}{10}）^{3}$=$\frac{2916}{10000}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{10}）^{2}（\frac{9}{10}）^{2}$=$\frac{486}{10000}$，
P（X=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{10}）^{3}（\frac{9}{10}）$=$\frac{36}{10000}$，
P（X=4）=${C}_{4}^{4}（\frac{1}{10}）^{4}$=$\frac{1}{10000}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{6561}{10000}$	$\frac{2916}{10000}$	$\frac{486}{10000}$	$\frac{36}{10000}$	$\frac{1}{10000}$

EX=4×$\frac{1}{10}$=$\frac{2}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．