Question

【題目】已知函數(shù)的值域?yàn)?/span>，函數(shù)（）.

（1）求；

（2）求函數(shù)的值域；

（3）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有零點(diǎn)，求的取值范圍，并討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）利用分段函數(shù)的單調(diào)性分別求出各段的值域即可求解.

（2）設(shè)，由，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，配方即可求值域.

（3）函數(shù)有零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)（）的圖象有交點(diǎn)，由（2）可求出的取值范圍；結(jié)合二次函數(shù)的圖像可確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（1）單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，

單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，

或

（2）設(shè)，，或，

故得，

當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)，

故的值域?yàn)?/span>

因?yàn)?/span>與的值域相同.故的值域?yàn)?/span>

（3）函數(shù)有零點(diǎn)，等價(jià)于方程有實(shí)根，

即方程有實(shí)根，

因此又等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)（）的圖象有交點(diǎn)

由（2）知，

所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，

函數(shù)有零點(diǎn)

下面討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)：結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，由（2）可知

單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，

①當(dāng)或當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)

③當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)