Question

（本小題滿(mǎn)分12分）
如圖所示，在正方體中，E是棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）求直線(xiàn)BE與平面所成的角的正弦值；
（Ⅱ）在棱上是否存在一點(diǎn)F，使平面？證明你的結(jié)論.

Answer 1

解法1：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.如圖所示，以為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系.
（Ⅰ）依題意，
得，
所以.
在正方體中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823174210940496.gif" style="vertical-align:middle;" />,所以是平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線(xiàn)BE和平面所成的角為，則
.
即直線(xiàn)BE和平面所成的角的正弦值為.

設(shè)F是棱上的點(diǎn)，則.又，所以
.而，于是
為的中點(diǎn)，這說(shuō)明在棱上存在點(diǎn)F(的中點(diǎn))，使.
解法2：（Ⅰ）如圖（a）所示，取的中點(diǎn)M，連結(jié)EM,BM.因?yàn)镋是的中點(diǎn)，四邊形為正方形，所以EM∥AD.

即直線(xiàn)BE和平面所成的角的正弦值為.

（Ⅱ）在棱上存在點(diǎn)F，使.
事實(shí)上，如圖（b）所示，分別取和CD的中點(diǎn)F，G，連結(jié).因,且,所以四邊形是平行四邊形，因此.又E,G分別為，CD的中點(diǎn)，所以，從而.這說(shuō)明，B，G，E共面，所以.
因四邊形與皆為正方形，F(xiàn)，G分別為和CD的中點(diǎn)，所以
，且，因此四邊形是平行四邊形，所以.而，，故.

略