【題目】定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x),如果對(duì)任意x∈(0,+∞),恒有f(kx)=kf(x),(k≥2,k∈N+)成立,則稱(chēng)f(x)為k階縮放函數(shù).
(1)已知函數(shù)f(x)為二階縮放函數(shù),且當(dāng)x∈(1,2]時(shí),f(x)=1+ x,求f(2 )的值;
(2)已知函數(shù)f(x)為二階縮放函數(shù),且當(dāng)x∈(1,2]時(shí),f(x)= ,求證:函數(shù)y=f(x)﹣x在(1,+∞)上無(wú)零點(diǎn);
(3)已知函數(shù)f(x)為k階縮放函數(shù),且當(dāng)x∈(1,k]時(shí),f(x)的取值范圍是[0,1),求f(x)在(0,kn+1](n∈N)上的取值范圍.
【答案】
(1)解:由 ∈(1,2]得,f( )=1+1+ =
由題中條件得f(2 )=2f( )=2× =1
(2)解:當(dāng)x∈(2i,2i+1](i=0,1,2)時(shí), ∈(1,2],依題意可得:f(x)=2f( )=22f( )=…=2if( )=2i =
方程f(x)﹣x=0 =xx=0或x=2i,0與2i均不屬于(2i,2i+1]((i=0,1,2))當(dāng)x∈(2i,2i+1]((i=0,1,2))時(shí),方程f(x)﹣x=0無(wú)實(shí)數(shù)解.
注意到(1,+∞)=(20,21]∪(21,22]∪(22,23)∪…,所以函數(shù)y=f(x)﹣x在(1,+∞)上無(wú)零點(diǎn)
(3)解:當(dāng)x∈(kj,kj+1],j∈Z時(shí),有 ∈(1,k],依題意可得:f(x)=kf( )=k2f( )=…=kjf( )
當(dāng)x∈(1,k]時(shí),f(x)的取值范圍是[0,1)
所以當(dāng)x∈(kj,kj+1],j∈Z時(shí),f(x)的取值范圍是[0,kj).
由于(0,kn+1]=(kn,kn+1]∪(kn﹣1,kn]∪…∪(k0,k]∪(k﹣1,k0]∪
所以函數(shù)f(x)在(0,kn+1](n∈N)上的取值范圍是:[0,kn)∪[0,kn﹣1)∪…∪[0,k0)∪[0,k﹣1)∪…=[0,kn)
【解析】(1)根據(jù)二階縮放函數(shù)的定義,直接代入進(jìn)行求值即可;(2)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義和性質(zhì)判斷函數(shù)y=f(x)﹣x在(1,+∞)上無(wú)零點(diǎn);(3)根據(jù)k階縮放函數(shù)成立的條件建立條件關(guān)系即可求出結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)為實(shí)數(shù),設(shè)函數(shù),設(shè)
.
(1)求的取值范圍,并把表示為的函數(shù);
(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若存在使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知圓C:.
(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等,且截距不為零,求此切線的方程;
(2)從圓C外一點(diǎn)P向該圓引一條切線,切點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且有,
求使得取得最小值的點(diǎn)P的坐標(biāo)
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【題目】若關(guān)于的不等式恰好有4個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)是上的減函數(shù),,且 f [ f(x)]=16x-3.
(1)求;
(2)若在(-2,3)單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),有最大值1,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>D={x|x≠0},且滿(mǎn)足對(duì)于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論;
(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),求x的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓 ,點(diǎn)P在圓外,過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為T(mén)1 , T2 .
(1)若 ,求點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)設(shè) ,點(diǎn)P在平面上構(gòu)成的圖形為M,求M的面積.
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【題目】某家庭進(jìn)行理財(cái)投資,根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè),投資類(lèi)產(chǎn)品的收益與投資額成正比,投資類(lèi)產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比.已知投資1萬(wàn)元時(shí)兩類(lèi)產(chǎn)品的收益分別為0.125萬(wàn)元和0.5萬(wàn)元.
(1)分別寫(xiě)出兩類(lèi)產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系;
(2)該家庭有20萬(wàn)元資金,全部用于理財(cái)投資,問(wèn):怎么分配資金能使投資獲得最大收益,其最大收益是多少萬(wàn)元?
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