Question

【題目】如圖，某旅游區(qū)擬建一主題游樂園，該游樂區(qū)為五邊形區(qū)域ABCDE，其中三角形區(qū)域ABE為主題游樂區(qū)，四邊形區(qū)域?yàn)锽CDE為休閑游樂區(qū)，AB、BC，CD，DE，EA，BE為游樂園的主要道路（不考慮寬度）．∠BCD=∠CDE=120°，∠BAE=60°，DE=3BC=3CD=3km．

（1）求道路BE的長度；
（2）求道路AB，AE長度之和的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，連接BD，

在△BCD中，由余弦定理可得：BD2=BD2+CD2﹣2BCCDcos∠BCD=1+1﹣2×1×1×（﹣ ）=3，

∴BD= ，

∵BC=CD，

∴∠CDB=∠CBD= =30°，

又∵∠CDE=120°，

∴∠BDE=90°，

∴在Rt△BDE中，BE= = =2

（2）解：設(shè)∠ABE=α，∵∠BAE=60°，∴∠AEB=120°﹣α，

在△ABE中，由正弦定理，可得： ，

∵ =4，

∴AB=4sin（120°﹣α），AE=4sinα，

∴AB+AE=4sin（120°﹣α）+4sinα

=4（ ）+4sinα

=2 cosα+6sinα

=4 sin（α+30°），

∵0°＜α＜120°，

∴30°＜α+30°＜150°，

∴當(dāng)α+30°=90°，即α=60°時(shí)，AB+AE取得最大值4 km，即道路AB，AE長度之和的最大值為4 km

【解析】（1）連接BD，由余弦定理可得BD，由已知可求∠CDB=∠CBD=30°，∠CDE=120°，可得∠BDE=90°，利用勾股定理即可得解BE的值．（2）設(shè)∠ABE=α，由正弦定理，可得AB=4sin（120°﹣α），AE=4sinα，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得AB+AE=4 sin（α+30°），結(jié)合范圍30°＜α+30°＜150°，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求
AB+AE的最大值，從而得解．
【考點(diǎn)精析】利用正弦定理的定義和余弦定理的定義對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．