Question

如圖1，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=AB=2，BC=3，E，F(xiàn)分別是AD，BC上的兩點，且AE=BF=1，G為AB中點，將四邊形ABCD沿EF折起到（圖2）所示的位置，使得EG⊥GC，連接AD、BC、AC得（圖2）所示六面體．
（Ⅰ）求證：EG⊥平面CFG；
（Ⅱ）求直線CD與平面CFG所成的角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得四邊形ABFE為矩形，EF=AB=2，AG=BG=1，EG=GF=

2

，由勾股定理得EG⊥GF，由已知得EG⊥GC，由此能證明EG⊥平面CFG．
（Ⅱ）取CF中點H，連接EH，GH，由已知得四邊形DCHE為平行四邊形，HE與平面CFG所成的角即為CD與平面CFG所成的角，∠EHG為所求的角，由此能求出直線CD與平面CFG所成的角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵E，F(xiàn)分別是AD，BC上的兩點，且AE=BF=1，
∴四邊形ABFE為矩形，∴EF=AB=2，
連結(jié)GF，GE，∵G為AB的中點，
∴AG=BG=1，解得EG=GF=

2

．
∵EF=2，∴EG²+FG²=EF²，
∴∠EGF=90°∴EG⊥GF．
又∵EG⊥GC，F(xiàn)G∩CG=G，GC⊆平面CFG，GF⊆平面CFG，
∴EG⊥平面CFG．

（Ⅱ）解：取CF中點H，連接EH，GH.則CH=

1

2

CF=1，
∵ED=1，∴CH=DF，∵CH∥DF，∴四邊形DCHE為平行四邊形，
故有CD∥HE，故HE與平面CFG所成的角即為CD與平面CFG所成的角，
∵EG⊥平面CFG，∴∠EHG為所求的角．
在Rt△EFH中，EH=

EF2+FH2

=

5

，
在Rt△EGF中，2EH2=EF2=4解得EG=

2

∴sin∠EHG=

EG

EH

=

10

5

，
∴直線CD與平面CFG所成的角的正弦值為

10

5

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．