Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且B₁A=B₁C=B₁B=AC=2．
（Ⅰ）求證：平面B₁AC⊥底面ABC；
（Ⅱ）求B₁C與平面ABB₁A₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）若E，F(xiàn)分別是線段A₁C₁，C₁C的中點(diǎn)，問在線段B₁F上是否存在點(diǎn)P，使得EP∥平面ABB₁A₁．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取AC中點(diǎn)O，連結(jié)B₁O，BO，則△B₁OA≌△B₁OB，從而B₁O⊥OB，進(jìn)而B₁O⊥平面ABC，由此能證明平面B₁AC⊥底面ABC．
（Ⅱ）由AB=BC，O為AC中點(diǎn)，得BO⊥AC，以O(shè)B、OC、OB₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出B₁C與平面ABB₁A₁所成角的正弦值．
（Ⅲ）求出A₁C₁中點(diǎn)E（-1，0，

3

），CC₁中點(diǎn)F（-

1

2

，1，

3

2

），設(shè)

B1P

=λ

B1F

，求出P（-

λ

2

，λ，-

3

2

λ），由

EP

•

n

=0，能求出當(dāng)P是線段B₁F中點(diǎn)時(shí)，EP∥平面ABB₁A₁．

解答： 解：（Ⅰ）證明：取AC中點(diǎn)O，連結(jié)B₁O，BO，
∵AB⊥BC，∴OB=OA=OC，
∵AB₁=B₁C，∴B₁O⊥AC，
又∵B₁B=AB₁，∴△B₁OA≌△B₁OB，
∴B₁O⊥OB，
∵AC∩OB=O，∴B₁O⊥平面ABC，
又∵B₁O?平面B₁AC，
∴平面B₁AC⊥底面ABC．
（Ⅱ）解：由已知得AB=BC，O為AC中點(diǎn)，
∴BO⊥AC，
以O(shè)B、OC、OB₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（1，0，0），B₁（0，0，

3

），C（0，1，0），A（0，-1，0），

AB

=（1，1，0），

BB1

=（-1，0，

3

），

B1C

=（0，1，-

3

），
設(shè)平面ABB₁A₁的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AB =x+y=0 n • BB1 =-x+ 3 z=0

，取z=1，得

n

=（

3

，-

3

，1），
設(shè)B₁C與平面ABB₁A₁所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

B1C

，

n

＞|=

| B1C • n |

| B1C |•| n |

=

21

7

．
∴B₁C與平面ABB₁A₁所成角的正弦值為

21

7

．
（Ⅲ）解：

OC1

=

OC

+

CC1

=

OC

+

BB1

=（-1，1，

3

），∴C₁（-1，1，

3

），
同理得A（-1，-1，

3

），
∴A₁C₁中點(diǎn)E（-1，0，

3

），CC₁中點(diǎn)F（-

1

2

，1，

3

2

），
設(shè)

B1P

=λ

B1F

，則

B1P

=λ（-

1

2

，1，-

3

2

），
∴P（-

λ

2

，λ，-

3

2

λ），∴

EP

=（-

λ

2

+1，λ，-

3

2

λ），
∵

EP

•

n

=(-

λ

2

+1)•

3

-

3

λ-

3

2

λ=0，
∴λ=

1

2

，
∴當(dāng)P是線段B₁F中點(diǎn)時(shí)，EP∥平面ABB₁A₁．

點(diǎn)評：本題考查平面B₁AC⊥底面ABC的證明，考查B₁C與平面ABB₁A₁所成角的正弦值的求出，考查在線段B₁F上是否存在點(diǎn)P，使得EP∥平面ABB₁A₁的判斷與求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．