Question

12．定義函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），已知若f（x）=x^k（k∈Z），則f′（x）=kx^k-1，并且有如下運(yùn)算律成立；
（1）（f（x）+g（x））′=f′（x）+g′（x）；
（2）（f（x）-g（x））′=f′（x）-g′（x）；
（3）（f（x）•g（x））′=f（x）•g′（x）+f′（x）-g（x）；
（4）（$\frac{f（x）}{g（x）}$）′=$\frac{g（x）•f′（x）-f（x）•g′（x）}{（g（x））^{2}}$．
導(dǎo)函數(shù)在求函數(shù)最值時(shí)有很大的作用，已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最大值和最小值必在區(qū)間的端點(diǎn)或使導(dǎo)函數(shù)為0的x處取到．請(qǐng)根據(jù)上述結(jié)論．回答下列問(wèn)題：
（1）求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：f₁（x）=x³；f₂（x）=x^-2．
（2）求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：g₁（x）=x²（x-3）；g₂（x）=$\frac{x}{x+2}$．
（3）求函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x²-x-3當(dāng)區(qū)間[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]內(nèi)取值時(shí)的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求解即可．
（3）求函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x²-x-3的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解：（1）∵f₁（x）=x³；
∴f₁′（x）=3x²；
∵f₂（x）=x^-2．
∴f_2′（x）=-2x^-3．
（2）∵g₁（x）=x²（x-3）=x³-3x²；g₂（x）=$\frac{x}{x+2}$=$\frac{x+2-2}{x+2}$=1-$\frac{2}{x+2}$．
∴g_1′（x）=3x²-6x；g₂′（x）=$\frac{2}{（x+2）^{2}}$．
（3）∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x²-x-3，
∴f′（x）=$\frac{2}{3}$x-1，
由f′（x）＞0得x＞$\frac{3}{2}$，此時(shí)函數(shù)遞增，
由f′（x）＜0得x＜$\frac{3}{2}$，此時(shí)函數(shù)遞減，
故當(dāng)x∈[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
此時(shí)函數(shù)的最小值為f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{3}$•（$\frac{3}{2}$）²-$\frac{3}{2}$-3=$-\frac{15}{4}$，
函數(shù)的最大值為f（-$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{3}$•（-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{2}$-3=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，要求熟練掌握掌握常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，比較基礎(chǔ)．