Question

【題目】如圖，圓盤上有一指針，開始時(shí)指向圓盤的正上方．指針每次順時(shí)針方向繞圓盤中心轉(zhuǎn)動(dòng)一角，且，經(jīng)2004次旋轉(zhuǎn)，第一次回到了其初始位置，即又指向了圓盤的正上方．試問：有多少個(gè)可能的不同值?

Answer 1

【答案】325

【解析】

顯然有．①

這里是當(dāng)指針第一次回到其初始位置時(shí)已經(jīng)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)．

因是正整數(shù)，式①整理后可得．

同時(shí)必與2004互質(zhì)，即．

設(shè)．若有，則令．

此時(shí)有．

這意味著指針轉(zhuǎn)動(dòng)次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)角，指針則旋轉(zhuǎn)圈之后，回到其初始位置，與題設(shè)矛盾．

由上述討論可知，對(duì)任一滿足，且的，對(duì)應(yīng)一個(gè)可能的．反之亦然．

故問題成為求滿足上述兩個(gè)條件的所有的個(gè)數(shù)．

因?yàn)?/span>，

所以，．

在不大于1001的正整數(shù)中，不能被2或3整除的正整數(shù)共有

（個(gè)）．

（符號(hào)表示不超過的最大整數(shù)．）

其中只有及能被167整除，所以，不大于1001且滿足條件的共有個(gè)．再去掉1，5，7，11，13，17，19這7個(gè)不大于20的數(shù)，知同時(shí)滿足兩個(gè)條件的共有個(gè)．

因此，共有325個(gè)可能的不同值．