Question

2．過點N（0，-1）作直線l與拋物線y²=x相交于A，B兩點，M為弦AB的中點，P（4，1）為定點，且M與P不重合，求直線PM在y軸上的截距b的取值范圍（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，+∞）
• C． （0，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{3}$，1）∪（1，+∞）
• D． （$\frac{1}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 設直線l：y=kx-1，代入拋物線的方程，運用判別式大于0和韋達定理、中點坐標公式可得M的坐標，再由直線的斜率公式可得PM的斜率和方程，令x=0，求得b的解析式，由k的范圍，可得b的范圍．

解答 解：設直線l：y=kx-1，代入拋物線y²=x，
可得k²x²-（2k+1）x+1=0，（k≠0），
則△=（2k+1）²-4k²=4k+1＞0，即k＞-$\frac{1}{4}$①
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=$\frac{2k+1}{{k}^{2}}$，
可得M（$\frac{2k+1}{2{k}^{2}}$，$\frac{1}{2k}$），
由x₁，x₂＞0，可得x₁+x₂=$\frac{2k+1}{{k}^{2}}$＞0，
即為k＞-$\frac{1}{2}$，且k≠0②
由①②可得k＞-$\frac{1}{2}$且k≠0，
即有直線PM的方程為y-1=$\frac{\frac{1}{2k}-1}{\frac{2k+1}{2{k}^{2}}-4}$（x-4），
即為y-1=$\frac{k}{1+4k}$（x-4），k≠$\frac{1}{2}$，
令x=0，可得b=1-$\frac{4k}{1+4k}$=$\frac{1}{1+4k}$，
由k＞-$\frac{1}{2}$且k≠0，k≠$\frac{1}{2}$，可得：
b＞0，且b≠$\frac{1}{3}$，b≠1．
即有b的取值范圍是（0，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{3}$，1）∪（1，+∞）．
故選：C．

點評 本題考查直線和拋物線方程聯(lián)立，運用判別式大于0，韋達定理和中點坐標公式，以及直線方程和截距的概念，考查運算能力，屬于中檔題．