Question

14．在區(qū)間[-1，1]上任取兩個數(shù)a，b，在下列條件時，分別求不等式x²+2ax+b²≥0恒成立時的概率：
（1）當a，b均為整數(shù)時；
（2）當a，b均為實數(shù)時．

Answer 1

分析 （1）x²+2ax+b²≥0恒成立的充要條件為4a²-4b²≤0，即a²≤b²，用列舉法求出基本事件數(shù)，然后直接利用古典概型概率計算公式求解；
（2）由題意求出點（a，b）所構成的正方形的面積，再由線性規(guī)劃知識求出滿足a²≤b²的區(qū)域面積，由測度比是面積比求概率．

解答 解：設事件A為“x²+2ax+b²≥0恒成立”．
x²+2ax+b²≥0恒成立的充要條件為4a²-4b²≤0，即a²≤b²．
（1）基本事件共9個：（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（0，-1），（0，0），（0，1），（1，-1），（1，0），（1，1）．其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值．
事件A中包含7個基本事件：（-1，-1），（-1，1），（0，-1），（0，0），（0，1），（1，-1），（（1，1）．
事件A發(fā)生的概率為P（A）=$\frac{7}{9}$；
（2）試驗的全部結果所構成的區(qū)域為{（a，b）|-1≤a≤1，-1≤b≤1}．
構成事件A的區(qū)域為{（a，b）|-1≤a≤1，-1≤b≤1，a²≤b²}．
如圖
∴當a，b均為實數(shù)時，不等式x²+2ax+b²≥0恒成立的概率為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了古典概型及其概率計算公式，考查了幾何概型的概率，關鍵是理解（2）的測度比，是基礎題．