Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)P（-2，0）的直線與圓x²+y²=1相切于點(diǎn)T，與圓（x-a）²+（y-$\sqrt{3}}$）²=3相交于點(diǎn)R，S，且PT=RS，則正數(shù)a的值為4．

Answer 1

分析 設(shè)過點(diǎn)P（-2，0）的直線方程為y=k（x+2），由直線與圓相切的性質(zhì)得k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，不妨取k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由勾股定理得PT=RS=$\sqrt{3}$，再由圓心（a，$\sqrt{3}$）到直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2）的距離能求出結(jié)果．

解答 解：設(shè)過點(diǎn)P（-2，0）的直線方程為y=k（x+2），
∵過點(diǎn)P（-2，0）的直線與圓x²+y²=1相切于點(diǎn)T，
∴$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，不妨取k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
PT=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，∴PT=RS=$\sqrt{3}$，
∵直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2）與圓${（{x-a}）^2}+{（{y-\sqrt{3}}）^2}=3$相交于點(diǎn)R，S，且PT=RS，
∴圓心（a，$\sqrt{3}$）到直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2）的距離d=$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{3}a-\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}|}{\sqrt{\frac{1}{3}+1}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$，
由a＞0，解得a=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．