Question

10．已知斜四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的各棱長(zhǎng)均為2，∠A₁AD=60°，∠BAD=90°，平面A₁ADD₁⊥平面ABCD，則直線BD₁與平面ABCD所成的角的正切值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{13}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{39}}{13}$
• D． $\frac{\sqrt{39}}{3}$

Answer 1

分析 延長(zhǎng)AD，過(guò)D₁作D₁E⊥AD于E，連結(jié)BE，說(shuō)明∠D₁BE為直線BD₁與平面ABCD所成的角，然后求解即可．

解答 解：延長(zhǎng)AD，過(guò)D₁作D₁E⊥AD于E，連結(jié)BE，
因?yàn)槠矫鍭₁ADD₁⊥平面ABCD，平面A₁ADD₁∩平面ABCD=AD，
所以D₁E⊥平面ABCD，即BE為BD₁在平面ABCD內(nèi)的射影，
所以∠D₁BE為直線BD₁與平面ABCD所成的角，
因?yàn)镈₁E=2sin60°=$\sqrt{3}$，BE=$\sqrt{{AB}^{2}+{AE}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
所以，tan∠D₁BE=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{39}}{13}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面所成角的求法，考查計(jì)算能力，空間想象能力．