Question

15．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2cosθ，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（m，0），若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|•|PB|=1，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ρ=2cosθ，得：ρ²=2ρcosθ，由此能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程，直線l的參數(shù)方程中消去參數(shù)得到其普通方程．
（Ⅱ）首先把圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，把直線的參數(shù)方程中的參數(shù)t消去化為普通方程，把直線的參數(shù)方程代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到關(guān)于t的一元二次方程，由于直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，方程有兩個(gè)實(shí)根，所以要求判別式為正，解得m的范圍，利用根與系數(shù)關(guān)系表示t₁t₂，利用直線的參數(shù)方程參數(shù)t的幾何意義可知|PA|•|PB|=|t₁t₂|=|m²-2m|=1，解出m后要求符合m的范圍即可；

解答 解：（Ⅰ）由ρ=2cosθ，得：ρ²=2ρcosθ，∴x²+y²=2x，即（x-1）²+y²=1，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+y²=1．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），得x=$\sqrt{3}y+m$，即x-$\sqrt{3}y-m=0$，
∴直線l的普通方程為x-$\sqrt{3}y-m=0$．
（Ⅱ）將$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入（x-1）²+y²=1，得：（$\frac{\sqrt{3}}{2}t+m-1$）²+（$\frac{1}{2}t$）²=1，
整理得：${t}^{2}+\sqrt{3}（m-1）t+{m}^{2}-2m=0$，由△＞0，即3（m-1）²-4（m²-2m）＞0，
解得：-1＜m＜3．設(shè)t₁，t₂是上述方程的兩實(shí)根，則${t}_{1}+{t}_{2}=-\sqrt{3}（m-1）$，t₁t₂=m²-2m，
又直線l過點(diǎn)P（m，0），由上式及t的幾何意義得|PA|•|PB|=|t₁t₂|=|m²-2m|=1，
解得：m=1或m=1$±\sqrt{2}$，都符合-1＜m＜3，
因此實(shí)數(shù)m的值為1或1+$\sqrt{2}$或1-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程的求法，考查實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程互化公式的合理運(yùn)用．