Question

19．已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和B（-1，-2），且圓心C在直線l：x-y+1=0上，
（1）求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），端點(diǎn)A在圓C上運(yùn)動(dòng)，求AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出圓心的坐標(biāo)，利用半徑相等求得t，進(jìn)而利用兩點(diǎn)的距離公式求得半徑，則圓的方程可得．
（2）線段CD中點(diǎn)M（x，y），C（x₁，y₁），由題意知x₁=2x-4，y₁=2y-3，由點(diǎn)A在圓（x+1）²+y²=4上運(yùn)動(dòng)，能求出點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為（t，t+1），
則有（t-1）²+（t+1）²=（t+1）²+（t+3）²，
整理求得t=-1，
故圓心為（-1，0），r²=（t-1）²+（t+1）²=4，
則圓的方程為（x+1）²+y²=4．
（2）設(shè)線段CD中點(diǎn)M（x，y），C（x₁，y₁），
由題意知：x₁=2x-4，y₁=2y-3，
∵點(diǎn)C在圓（x+1）²+y²=4上運(yùn)動(dòng)，
∴（2x-4+1）²+（2y-3）²=4，
∴M的軌跡方程為（x-1.5）²+（y-1.5）²=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段的中點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查代入法的運(yùn)用，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系是關(guān)鍵．