Question

4．如圖1，等腰直角三角形ABC的底邊AB=4，點(diǎn)D在線段AC上，DE⊥AB于E，現(xiàn)將△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如圖2）．

（1）求證：PB⊥DE；
（2）若PE⊥BE，PE=1，求點(diǎn)B到平面PEC的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行證明，
（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義，利用體積法進(jìn)行求解即可．

解答 證明：（1）∵DE⊥AB，∴DE⊥PE，DE⊥EB．…（2分）
又∵PE∩BE=E，∴DE⊥平面PEB．…（4分）
∵PB?平面PEB，∴PB⊥DE．…（5分）
（2）由（1）知DE⊥PE，且PE⊥BE，DE∩BE=E，所以PE⊥平面BEDC．…（6分）
連結(jié)EC．∵PE=1，∴$DE=PE=1，AD=DC=\sqrt{2}$．
在△EDC中，∠EDC=135°，
由余弦定理得$E{C^2}=D{E^2}+D{C^2}-2DE×DC×cos∠EDC=1+2-2\sqrt{2}×（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）=5$，…（8分）
∴$EC=\sqrt{5}$，∴${S_{△PEC}}=\frac{1}{2}×PE×EC=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．…（10分）
設(shè)點(diǎn)B到平面PEC的距離為h，則由V_P-BEC=V_B-PEC得$\frac{1}{3}{S_{△PEC}}•h=\frac{1}{3}{S_{△BEC}}•PE$，
所以$\frac{{\sqrt{5}}}{2}h=\frac{1}{2}×3×2×1$，所以$h=\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查空間直線和平面垂直的性質(zhì)定理以及點(diǎn)到平面的距離，利用體積法是解決本題的關(guān)鍵．