Question

2．方程sin（2x+$\frac{π}{3}$）+m=0在（0，π）內有相異兩解α，β，則tan（α+β）=（　�。�

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 把方程的相異解α、β分別代入方程，得到的兩個方程相減，利用和差化積公式化簡，結合sin（α-β）≠0，求得cos（α+β+$\frac{π}{3}$）=0，結合范圍可求α+β=$\frac{π}{6}$或$\frac{7π}{6}$，從而可求tan（α+β）的值．

解答 解：∵α、β是方程的相異解，
∴sin（2α+$\frac{π}{3}$）+m=0①．
sin（2β+$\frac{π}{3}$）+m=0②．
∴①-②得sin（2α+$\frac{π}{3}$）-sin（2β+$\frac{π}{3}$）=2cos（α+β+$\frac{π}{3}$）sin（α-β）=0，
∵α，β∈（0，π），α，β相異，可得：α-β∈（-π，π），可得：sin（α-β）≠0，
∴cos（α+β+$\frac{π}{3}$）=0，
∵α+β+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$），
∴解得：α+β+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$，可得α+β=$\frac{π}{6}$或$\frac{7π}{6}$，
∴tan（α+β）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點評 本題主要考查和差化積公式，正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖象和性質，考查了數(shù)形結合思想的應用，解題的關鍵既要熟練掌握公式，又要靈活利用特殊角，屬于中檔題．