Question

6．已知圓M：（x+1）²+y²=16，定點(diǎn)N（1，0），P是圓M上任意一點(diǎn)，線段PN的垂直平分線l交PM于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）通過中垂線的性質(zhì)、圓M的方程可得動點(diǎn)Q滿足QM+QN=4，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）聯(lián)立直線l與橢圓方程，利用$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BD}$=0，結(jié)合韋達(dá)定理計算即得結(jié)論．

解答 （1）解：∵圓M方程為：（x+1）²+y²=16，
∴點(diǎn)M（-1，0），半徑R=4，
∵線段PN的中垂線與線段PM相交于點(diǎn)Q，
∴QN=QP，∴QM+QN=QM+QP=PM，
∵點(diǎn)P是圓M上的動點(diǎn)，∴PM長為圓M的半徑4，
∴動點(diǎn)Q滿足QM+QN=4，
即點(diǎn)Q的軌跡C是以M、N為焦點(diǎn)，2a=4的橢圓，
∴a²=4，c=1，b²=a²-c²=3，
∴曲線C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
易知橢圓C的右頂點(diǎn)為D（2，0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：
（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，且△=3+4k²-m²，
而AD⊥BD，即$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BD}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（{x}_{1}-2，{y}_{1}）•（{x}_{2}-2，{y}_{2}）=0}\\{{y}_{1}=k{x}_{1}+m}\\{{y}_{2}=k{x}_{2}+m}\end{array}\right.$，
∴（1+k²）x₁x₂+（mk-2）（x₁+x₂）+m²+4=0，
整理得：7m²+16mk+4k²=0，
解得：m₁=-2k，m₂=-$\frac{2k}{7}$，且均滿足3+4k²-m²＞0，
當(dāng)m₁=-2k時，l的方程為y=k（x-2），直線過定點(diǎn)（2，0），與已知矛盾；
當(dāng)m₂=-$\frac{2k}{7}$時，l的方程為$y=k（{x-\frac{2}{7}}）$，直線過定點(diǎn)$（{\frac{2}{7}，0}）$；
∴直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為$（{\frac{2}{7}，0}）$．

點(diǎn)評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．