Question

11．已知P（x，y）為平面上的動點且x≥0，若P到y(tǒng)軸的距離比到點（1，0）的距離小1．
（Ⅰ） 求點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ） 設過點M（m，0）的直線交曲線C于A、B兩點，問是否存在這樣的實數(shù)m，使得以線段AB為直徑的圓恒過原點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得：$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}-x=1$，化簡得：y²=4x（x≥0）．求得P的軌跡方程．
（Ⅱ）分斜率存在和斜率不存在兩種情況討論，當斜率存在時，設直線AB方程為y=k（x-m），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線和拋物線聯(lián)立方程求解．當斜率不存在時，m=0或m=4．成立．

解答 解：（Ⅰ）由題意得：$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}-x=1$，化簡得：y²=4x（x≥0）．
∴點P的軌跡方程為y²=4x（x≥0）．．
（Ⅱ）①當斜率存在時，設直線AB方程為y=k（x-m），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-m）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得ky²-4y-4km=0，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{4}{k}，{y}_{1}{y}_{2}=-4m∴{x}_{1}{x}_{2}={m}^{2}$，
∵以線段AB為直徑的圓恒過原點，∴OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
即m²-4m=0∴m=0或m=4．
②當斜率不存在時，m=0或m=4．
∴存在m=0或m=4，使得以線段AB為直徑的圓恒過原點．

點評 本題主要考查軌跡方程的求解和直線與拋物線的綜合應用，屬于中檔題，早高考中經(jīng)常涉及