Question

5．若直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦長為4，則$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． -2
• D． 4

Answer 1

分析 由題意可得2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）經(jīng)過圓心，可得a+b=1，則$\frac{1}{a}+\frac{1}$=$\frac{a+b}{a}$+$\frac{a+b}$=2+$\frac{a}$+$\frac{a}$，再利用基本不等式求得它的最小值．

解答 解：圓x²+y²+2x-4y+1=0，即（x+1）²+（y-2）² =4，表示以（-1，2）為圓心、半徑等于2的圓．
再根據(jù)弦長為4，可得2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）經(jīng)過圓心，故有-2a-2b+2=0，
求得a+b=1，則$\frac{1}{a}+\frac{1}$=$\frac{a+b}{a}$+$\frac{a+b}$=2+$\frac{a}$+$\frac{a}$≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時，取等號，
故則$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值為4，
故選：D．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．