Question

18．計(jì)算：cos$\frac{π}{2015}$cos$\frac{2π}{2015}$cos$\frac{3π}{2015}$…cos$\frac{1007π}{2015}$=$\frac{1}{{2}^{1007}}$．

Answer 1

分析 設(shè)x=cos$\frac{π}{2015}$cos$\frac{2π}{2015}$cos$\frac{3π}{2015}$…cos$\frac{1007π}{2015}$，y=sin$\frac{π}{2015}$sin$\frac{2π}{2015}$sin$\frac{3π}{2015}$…sin$\frac{1007π}{2015}$，可得x×y=$\frac{1}{{2}^{1007}}$×y，從而解得x的值．

解答 解：設(shè)x=cos$\frac{π}{2015}$cos$\frac{2π}{2015}$cos$\frac{3π}{2015}$…cos$\frac{1007π}{2015}$，
y=sin$\frac{π}{2015}$sin$\frac{2π}{2015}$sin$\frac{3π}{2015}$…sin$\frac{1007π}{2015}$，
x×y=$\frac{1}{{2}^{1007}}$sin$\frac{2π}{2015}$sin$\frac{4π}{2015}$sin$\frac{6π}{2015}$…sin$\frac{2010π}{2015}$sin$\frac{2012π}{2015}$sin$\frac{2014π}{2015}$
=$\frac{1}{{2}^{1007}}$sin$\frac{2π}{2015}$sin$\frac{4π}{2015}$sin$\frac{6π}{2015}$…sin$\frac{5π}{2015}$sin$\frac{3π}{2015}$sin$\frac{π}{2015}$
=$\frac{1}{{2}^{1007}}$×y，
從而解得：x=$\frac{1}{{2}^{1007}}$．
故答案為：$\frac{1}{{2}^{1007}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二倍角的正弦，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，屬于基本知識(shí)的考查．