Question

12．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點(diǎn)C的極坐標(biāo)為（2，$\frac{π}{3}$），點(diǎn)P是以C為圓心，半徑長為2的圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q（5，-$\sqrt{3}$），M是線段PQ的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為曲線C₁．
（1）求曲線C₁的普通方程；
（2）過曲線C₁上任意一點(diǎn)A作與直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=2-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)T，求|TA|的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$把極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)點(diǎn)C的坐標(biāo)，可得圓C的方程．可設(shè)圓C上任意一點(diǎn)P$（1+2cosα，\sqrt{3}+2sinα）$，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出．
（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為$（1，\sqrt{3}）$，可得：圓C的方程：$（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}$=4．
可設(shè)圓C上任意一點(diǎn)P$（1+2cosα，\sqrt{3}+2sinα）$，
又令M（x，y），由Q（5，-$\sqrt{3}$），M是線段PQ的中點(diǎn)．
∴M的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6+2cosα}{2}}\\{y=\frac{2sinα}{2}}\end{array}\right.$，化為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$．
∴點(diǎn)M的軌跡的普通方程為：（x-3）²+y²=1．
（2）在曲線C₁上任意取一點(diǎn)A（3+cosθ，sinθ）到l的距離為d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|3+cosθ+sinθ-1|，
則|TA|=$\fracwhv1dbh{sin3{0}^{°}}$=$\sqrt{2}$$|\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）+2|$=$|2sin（θ+\frac{π}{4}）+2\sqrt{2}|$，
當(dāng)$sin（θ+\frac{π}{4}）=1$時(shí)，|TA|取得最大值，最大值為$2\sqrt{2}$+2；
當(dāng)$sin（θ+\frac{π}{4}）$=-1時(shí)，|TA|取得最小值，最小值為2$\sqrt{2}$-2．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．