Question

4．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD=$\sqrt{10}$，∠DBC=45°
（1）證明：BD⊥平面PAC；
（2）若二面角A-PC-D的大小為60°，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）在底面梯形中，通過求解直角三角形求得DE=3，得到BE=DE，進(jìn)一步得到AC⊥BD．再由PA⊥平面ABCD得，PA⊥BD，由線面垂直的判定得答案；
（2）法一、找出二面角APCD的平面角，求解直角三角形得到AP=$\frac{3\sqrt{22}}{11}$，再求出四邊形ABCD的面積，代入體積公式得答案；
解法二、由（1）知AC⊥BD．以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC所在直線為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，求出所用點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P（0，-$\sqrt{2}$，t）（t＞0）．由二面角A-PC-D的大小為60°，借助于空間向量求得t，即得到AP．再求出四邊形ABCD的面積，代入棱錐體積公式得答案．

解答 （1）證明：設(shè)O為AC與BD的交點(diǎn)，作DE⊥BC于點(diǎn)E．由四邊形ABCD是等腰梯形得，
CE=$\frac{BC-AD}{2}$=1，DE=$\sqrt{D{C}^{2}-C{E}^{2}}=3$，
∴BE=DE，從而得∠DBC=∠BCA=45°，
∴∠BOC=90°，即AC⊥BD．
由PA⊥平面ABCD得，PA⊥BD，
∴BD⊥平面PAC；
（2）解：法一、
作OH⊥PC于點(diǎn)H，連結(jié)DH．如圖1所示．
由（1）知DO⊥平面PAC，故DO⊥PC．
∴PC⊥平面DOH，從而得PC⊥OH，PC⊥DH．
故∠DHO是二面角APCD的平面角，∴∠DHO=60°．
在Rt△DOH中，由DO=$\sqrt{2}$，得OH=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
在Rt△PAC中，$\frac{PA}{PC}$=$\frac{OH}{OC}$．設(shè)PA=x，可得$\frac{x}{\sqrt{x2+18}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
解得x=$\frac{3\sqrt{22}}{11}$，即AP=$\frac{3\sqrt{22}}{11}$．
∵四邊形ABCD為等腰梯形，且BC=2AD=4，AB=CD=$\sqrt{10}$，
∴${S}_{ABCD}=\frac{1}{2}（2+4）×3=9$，
∴${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}AP•{S}_{ABCD}=\frac{9\sqrt{22}}{11}$；
解法二、
由（1）知AC⊥BD．
以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC所在直線為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖2所示．
由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：A（0，-$\sqrt{2}$，0），B（2$\sqrt{2}$，0，0），C（0，2$\sqrt{2}$，0），D（-$\sqrt{2}$，0，0）．
由PA⊥平面ABCD，得PA∥z軸，故設(shè)點(diǎn)P（0，-$\sqrt{2}$，t）（t＞0）．
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）為平面PDC的法向量，
由$\overrightarrow{CD}$=（-$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{PD}$=（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，-t）
知$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}x-2\sqrt{2}y=0}\\{-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-tz=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（-2，1，$\frac{3\sqrt{2}}{t}$）．
又平面PAC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
于是cosθ=$\frac{|m•n|}{|m|•|n|}$=$\frac{2}{\sqrt{5+\frac{18}{{t}^{2}}}}$=$\frac{1}{2}$，
解得t=$\frac{3\sqrt{22}}{11}$，即AP=$\frac{3\sqrt{22}}{11}$．
∵四邊形ABCD為等腰梯形，且BC=2AD=4，AB=CD=$\sqrt{10}$，
∴${S}_{ABCD}=\frac{1}{2}（2+4）×3=9$，
∴${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}AP•{S}_{ABCD}=\frac{9\sqrt{22}}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的度量、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，訓(xùn)練了利用空間向量求空間角的問題，是中檔題．