Question

19．如圖所示，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD且MD=NB=1，E為BC的中點(diǎn)
（1）求異面直線NE與AM所成角的余弦值
（2）在線段AN上是否存在點(diǎn)F，使得FE與平面AMN所成角為30°，若存在，求線段AF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DM所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線NE與AM所成角的余弦值．
（2）假設(shè)在線段AN上存在點(diǎn)F，使FE與平面AMN所成角為30°，設(shè)$\overrightarrow{AF}$=$λ\overrightarrow{AN}$=（0，λ，λ），（0≤λ≤1），利用向量法推導(dǎo)出$λ=\frac{2±3\sqrt{2}}{4}$與0≤λ≤1矛盾，從而在線段AN上不存在點(diǎn)F，使得FE與平面AMN所成角為30°．

解答 解：（1）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DM所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），M（0，0，1），
C（0，1，0），B（1，1，0），N（1，1，1），E（$\frac{1}{2}$，1，0），
∴$\overrightarrow{NE}=（-\frac{1}{2}，0，-1）$，$\overrightarrow{AM}$=（-1，0，1），
∵$\overrightarrow{NE}$=（-$\frac{1}{2}$，0，-1），$\overrightarrow{AM}$=（-1，0，1），
∵|cos＜$\overrightarrow{NE}，\overrightarrow{AM}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{NE}•\overrightarrow{AM}|}{|\overrightarrow{NE}|•|\overrightarrow{AM}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{5}{4}}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴異面直線NE與AM所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（2）不存在F，使EF與平面AMN所成角為30°，
假設(shè)在線段AN上存在點(diǎn)F，使FE與平面AMN所成角為30°，
設(shè)$\overrightarrow{AF}$=$λ\overrightarrow{AN}$=（0，λ，λ），（0≤λ≤1），
又$\overrightarrow{EA}$=（$\frac{1}{2}，-1，0$），∴$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}$=（$\frac{1}{2}，λ-1，λ$），
設(shè)平面AMN的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{AM}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{AN}$=（0，1，1），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=-x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AN}=y+z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
∵點(diǎn)F使得FE與平面AMN所成角為30°，
∴sin30°=|cos＜$\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}+（λ-1）^{2}+{λ}^{2}}•\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
解得$λ=\frac{2±3\sqrt{2}}{4}$與0≤λ≤1矛盾，
∴在線段AN上不存在點(diǎn)F，使得FE與平面AMN所成角為30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查使得線面角為30°的點(diǎn)是否存在的判斷與證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．