Question

9．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離是$\frac{π}{2}$，若將y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，所得函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及單調(diào)增區(qū)間；
（2）設函數(shù)$y=3{[{g（x）}]^2}+mg（x）+2（x∈[{0，\frac{π}{2}}]）$，求函數(shù)y的最小值φ（m）．

Answer 1

分析 （1）先求出ω=2，由所得函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，可求得φ的值，從而確定f（x）的解析式；從而求得f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）利用換元法，將函數(shù)最化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質進行討論即可．

解答 解：（1）由題意函數(shù)f（x）的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離是$\frac{π}{2}$，可得函數(shù)的周期為π，即 $\frac{2π}{ω}$=π，ω=2，故函數(shù)為f（x）=sin（2x+φ）．
將函數(shù)f（x）圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數(shù)g（x）的解析式為 g（x）=sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+φ]=sin（2x-$\frac{π}{3}$+φ），
∵函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．
∴-$\frac{π}{3}$+φ=kπ，φ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z．
不妨令k=0，則φ取值為$\frac{π}{3}$．
故有f（x）=sin（ωx+φ）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
∵函數(shù)y=sin（2x+$\frac{π}{3}$），∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ   k∈Z，即kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ（k∈Z），即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：[kπ-$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{12}$+kπ]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x∈[0，π]，0≤sin2x≤1，
由（1）得g（x）=sin2x，且$y=3{[{g（x）}]^2}+mg（x）+2（x∈[{0，\frac{π}{2}}]）$，
設t=g（x），則0≤t≤1，
則函數(shù)等價為y=3t²+mt+2，0≤t≤1，對稱軸為t=-$\frac{m}{6}$，
若0＜-$\frac{m}{6}$＜1，得-6＜m＜0，則當t=-$\frac{m}{6}$時，y取最小值φ（m）=2-$\frac{{m}^{2}}{12}$，
若-$\frac{m}{6}$≤0，得m≥0，則當t=0時，y取最小值φ（m）=2，
若-$\frac{m}{6}$≥1，得m≤-6，則當t=1時，y取最小值φ（m）=5+m，
即φ（m）=$\left\{\begin{array}{l}{5+m，}&{m≤-6}\\{2-\frac{{m}^{2}}{12}，}&{-6＜m＜0}\\{2，}&{m≥0}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質以及一元二次函數(shù)的最值問題，利用換元法轉化為一元二次函數(shù)是解決本題的關鍵．