Question

14．已知函數(shù)f（x）=（x²-a+1）e^x（a∈R）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)m，n，（m＜n），且|m+n|+1≥|mn|．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，設(shè)函數(shù)y=mf（x）的最大值為g（m），求g（m）．

Answer 1

分析 （1）由f（x）得到其導(dǎo)函數(shù)，由兩個(gè)極值點(diǎn)，得知導(dǎo)函數(shù)有2個(gè)根，且由韋達(dá)定理知兩個(gè)之和與兩根之積．
（2）求出m的范圍，化簡y，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出g（m）的最大值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（x²-a+1）e^x．
∴f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x．
令f′（x）=0，得：x²+2x-a+1=0．
由題意：△=4-4（1-a）=4a＞0．
即a＞0，
且：m+n=-2，mn=1-a．
∵|m+n|+1≥|mn|．
∴|a-1|≤3．
∴0＜a≤4．
（2）∵f′（m）=（m²+2m-a+1）e^m=0．
∴a=m²+2m+1．
∴0＜m²+2m+1≤4．
∴-3≤m≤1且m≠-1．
又∵m＜n．
∴-3≤m＜-1．
∴y=mf（x）．
∴g（m）=m（m²-a+1）e^m=m（m²-m²-2m）e^m=-2m²e^m．
g′（m）=-2m（2+m）e^m ．
令g′（x）=0，得m₁=0，m₂=-2．
∴g（m）在[0，2]上是單調(diào)遞減．
g（m）最大值為g（0）=0．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，一般是求導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程的根，然后求出根對應(yīng)的函數(shù)值，根據(jù)單調(diào)性，得到最值．