Question

5．已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx-$\sqrt{3}$cos2x（x∈R）．
（1）若f（t-x）=f（t+x）且t∈（0，π），求實數(shù)t的值；
（2）記函數(shù)f（x）在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值為b，且函數(shù)f（x）在[aπ，bπ]（a＜b）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的正弦函數(shù)公式、兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的對稱軸方程求出f（x）的對稱軸方程，結(jié)合條件求出t的值；
（2）由x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出函數(shù)的最大值，由正弦函數(shù)的增區(qū)間求出f（x）的增區(qū)間，由條件求出a的范圍和最小值．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=2sinxcosx-$\sqrt{3}$cos2x=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=$2sin（2x-\frac{π}{3}）$，
由$2x-\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$得，$x=\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{6}（k∈Z）$，
∵f（t-x）=f（t+x），
∴函數(shù)f（x）的對稱軸是x=t=$\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{6}（k∈Z）$，
∵t∈（0，π），∴t=$\frac{5π}{6}$；
（2）∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，∴$2x-\frac{π}{3}∈[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$，
當$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$時，f（x）=$2sin（2x-\frac{π}{3}）$取最大值是2，
即b=2，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，
$\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{5π}{12}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$[\frac{π}{12}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ]（k∈Z）$，
∵函數(shù)f（x）在[aπ，2π]（a＜2）上單調(diào)遞增，
∴k=1時增區(qū)間是$[\frac{13π}{12}，\frac{17π}{12}]$，k=0時增區(qū)間是$[\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}]$，
則$a≥\frac{13}{12}$，
∴實數(shù)a的最小值是$\frac{13}{12}$．

點評 本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二倍角的余弦公式變形、兩角差的正弦公式，考查整體思想，化簡、變形能力．